物理力學沙盒
拖曳、碰撞、換重力環境，再用公式驗證結果。
滑鼠或手指拖曳物體；聚焦畫面後：方向鍵移動選取的物體、Delete 刪除、空白鍵暫停／繼續。
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動量 0 kg·m/s物體數 0即時曲線（最近 10 秒模擬時間）
ⓘ 怎麼看這張圖
拖曳物體時手在對物體做功，總能量會改變；恢復係數小於 1、摩擦或空氣阻力會讓總能量下降。速率與高度曲線需要先點選一個物體。
試試這些實驗
進階：公式驗證與模擬方法
公式驗證
在獨立的模擬世界中重現課本情況，並與公式比較：自由落體 y = y₀ − ½gt²；一維正碰的動量與動能守恆；斜面滑塊 a = g(sinθ − μcosθ)。
| 項目 | 理論值 | 模擬值 | 誤差 | 結果 |
|---|
模擬方法與限制
- 固定時間步長 1/60 秒，每步再分 8 個子步；碰撞採用累積衝量的循序解法（含摩擦與恢復係數），重力項用速度 Verlet 積分。
- 方塊是可旋轉的剛體；牆與斜坡固定不動。牛頓擺的球之間保留約 1 公分間隙，讓碰撞依序傳遞。
- 每種球體與材質有自己的密度、彈性倍率與摩擦倍率（相對於「標準」的 1×）：兩個物體碰撞時取兩者倍率的幾何平均，再乘上環境參數。
- 數值模擬有離散誤差：高速碰撞或極小物體可能穿透，堆疊會有微小下沉。
- 單位：長度公尺、質量公斤、時間秒。畫面左下角的比例尺為 1 公尺。
使用說明與常見問題
這個工具能做什麼
物理力學沙盒讓你在瀏覽器裡做力學實驗。它有 13 個實驗場景（自由落體與彈跳、彈跳比賽、空氣阻力、牛頓擺、斜面、碰撞球台、堆疊塔、骨牌連鎖、保齡球、單擺、拋體砲台等），36 種球體和 36 種材質，還能換成地球、月球、火星、木星或無重力的環境，並調整恢復係數、摩擦和空氣阻力。
畫面會即時顯示動能、位能和總能量，還有能量、速率和高度的曲線，並可以用公式驗證結果。所有計算都在你的瀏覽器裡完成，不會上傳。
站長的話
這裡的程式，是我平常會用的，或是朋友和我自己的想法。希望物理力學沙盒能讓你動手玩一玩，看看課本裡的公式在畫面上是怎麼動起來的，也希望你會喜歡。
使用步驟
- 在「實驗場景」選一個場景，場景上方會顯示這個場景的目標。按「重設場景」可以讓物體回到起點。
- 用滑鼠或手指直接拖曳物體，鬆手就能把它甩出去。想慢慢看，可以按「⏸ 暫停」、「單步 ▸」，或把模擬速度調成 0.25×、0.5×、1×、2×。
- 在「加入」分頁按「＋ 球體」「＋ 方塊」「＋ 斜坡」，並從 36 種球體或 36 種材質選外觀。「進階設定（大小、質量、畫牆）」可以改新物體的大小（0.1 到 0.8 公尺）和質量（0.05 到 1000 公斤），也能「✎ 在畫面拖曳畫牆／斜坡」。
- 在「環境」分頁選地球（9.81）、月球（1.62）、火星（3.71）、木星（24.79）或無重力（0），單位是 m/s²，也可以自己輸入 0 到 50 的重力。恢復係數 e、摩擦係數 μ 和空氣阻力係數 k 都是 0 到 1。
- 在「選取」分頁點選一個物體，可以看它的速度、加速度和動能，修改質量和角度、換外觀、停止或刪除它。
- 畫面下方的「即時曲線」可以切換成能量、速率或高度，顯示最近 10 秒的模擬時間。速率和高度要先選取一個物體才看得到。
- 「檔案」分頁可以「↓ 匯出 JSON」把場景存成 physics-scene.json，之後「↑ 匯入 JSON」；也可以「↓ 匯出實驗數據 CSV」得到 physics-data.csv，內容是最近 10 秒的時間、動能、位能、總能量，以及選取物體的速率與高度。上方的「截圖」會存成 PNG 圖片。
- 「拋體砲台」和「單擺週期」場景會多出「實驗」分頁：砲台可調發射角度（10 到 80 度）和初速（4 到 20 m/s），單擺可調擺長（0.8 到 4 公尺）和起始角度（5 到 60 度）。
適合的情境
- 課堂示範：同一個球在地球和月球上彈起的高度、下落的快慢有什麼不同。
- 比較不同材質：鋼珠、橡膠球、泡棉球從同一高度落下的反彈。
- 自學自由落體、動量守恆、斜面與摩擦、拋體運動、單擺週期。
- 把實驗數據匯出成 CSV，在試算表裡畫圖或做作業。
小技巧與限制
- 動能加位能是總能量。用手拖曳物體時，手在對物體做功，所以總能量會改變；恢復係數小於 1、摩擦或空氣阻力則會讓總能量下降。
- 每種材質有自己的彈性和摩擦倍率，兩個物體碰撞時取兩者的幾何平均，再乘上你在「環境」設定的數值，所以同樣的 e，不同材質的彈跳也不一樣。
- 畫面最多放 150 個物體，超過時請先刪除一些。
- 這是數值模擬，有離散誤差：速度很快的碰撞或極小的物體可能穿透，堆疊的物體會有微小的下沉。可以把模擬速度調慢，或放大物體。
- 聚焦在畫面上後，可以用方向鍵移動選取的物體、Delete 刪除、空白鍵暫停或繼續。
- 場景不會自動保存，離開頁面就會回到預設。想保留請先匯出 JSON。只有「顯示」選項（速度向量、格線、數值標籤）和曲線種類會被記住。
- 單位是公尺、公斤、秒，畫面左下角的比例尺代表 1 公尺。
常見問題
實驗數據要怎麼拿來畫圖？
按「↓ 匯出實驗數據 CSV」，用試算表打開 physics-data.csv，把時間欄當作橫軸，其他欄位當作縱軸就能畫圖。內容是最近 10 秒的模擬數據。
為什麼速率或高度曲線是空的？
這兩條曲線是顯示選取物體的數據，要先在畫面上點選一個物體，或用「選取下一個物體」。
「執行驗證」在做什麼？
它在另一個獨立的模擬世界裡重現課本的情況，包含自由落體、一維正碰的動量與動能守恆、斜面滑塊，並把模擬值和公式算出的理論值比較，列出誤差與是否通過。
物體穿過牆壁或其他物體了，是壞掉嗎？
不是。這是數值模擬的限制：物體太小或速度太快時，一個時間步長內可能直接跨過去。把模擬速度調慢、放大物體，或降低速度試試。
手機可以玩嗎？
可以，拖曳物體用手指就行，控制面板會分成「加入」「環境」「選取」「檔案」幾個分頁。