用物理沙盒與光學實驗室做對照實驗：落體、反彈、單擺、折射與全反射

作者：夢想團隊 ・ 發布日期：2026-10-20 ・ 閱讀約 11 分鐘

課本裡的公式可以在瀏覽器裡親手驗證：用物理力學沙盒改重力、恢復係數、擺長與發射角，用幾何光學實驗室改材質、物距與環境，每次只改一個條件，再對照公式與工具顯示的數字。這篇分成物理沙盒與光學實驗室兩部分，所有數字都是實際操作量到的；兩個工具都是簡化的模擬，結果不等於真實的實驗。

對照實驗的做法：一次只改一個條件

兩個工具都附有公式與「執行驗證」。比較實用的用法是：先用公式算出你預期的結果，再改一個條件（重力、恢復係數、擺長、角度、材質、物距……），看工具量到的數字是否符合，不符合的地方通常就是學到東西的地方。下面每個實驗都附實測表，你可以照著做一次。

物理沙盒一：不同星球的自由落體

在 物理力學沙盒 選「空白場地」，用「＋ 球體」放一顆鋼珠，把它放在離地 4 公尺處、沒有初速，「恢復係數 e」調成 0（落地後不彈起，方便量落地時間）。到「環境」分頁切換月球、火星、地球、木星的重力，按「單步 ▸」一格一格前進。實測與公式 y = ½gt²、v = gt、落地時間 t = √(2h/g) 的比較如下：

落地時間比公式多了一點點，是因為工具以 1/60 秒一格判定「碰到地面」，差距都在一格（約 0.017 秒）以內。重力越小，落下越慢：月球落 4 公尺要 2.2 秒，木星只要 0.57 秒。

另外，落下時間與質量無關：我們把同一顆球的質量改成 0.05、5、1000 公斤，在地球上落地時間都是 0.917 秒。

物理沙盒二：恢復係數與反彈高度

恢復係數 e 代表碰撞後保留多少速度，速度乘 e，高度就乘 e²，所以每次反彈的高度是上一次的 e² 倍。我們把鋼珠從 4 公尺落下，改變 e（1、2、3 次反彈各量一次）：

不同材質的球有自己的彈性倍率，碰撞時取兩個物體的倍率相乘後開平方，再乘上你設定的 e，所以同樣的 e，鋼珠、橡膠球與泡棉球的反彈並不一樣。能量也跟著減少：球心離地 4.3 公尺、質量 8.814 公斤的球，位能是 8.814 × 9.81 × 4.3 ≈ 371.8 焦耳，工具顯示的總能量也是 371.80 焦耳。e = 0.7 時，6 秒後剩下 25.94 焦耳；e = 1 時，總能量只從 371.80 焦耳漂移到 372.31 焦耳（約 0.14%，是數值模擬的誤差）。

物理沙盒三：單擺的週期

選「單擺週期」場景，在「實驗」分頁調整擺長與起始角度，畫面會顯示理論週期 T = 2π√(L/g) 與實測週期。我們跑 28 秒的模擬時間：

把擺長固定在 2 公尺（理論週期 2.837 秒），只改起始角度，結果就不一樣了：

公式 T = 2π√(L/g) 是小角度的近似，角度越大，實際週期越長；工具的週期以 1/60 秒為一格量測，所以小角度的差距在量測解析度內。質量則沒有影響：把擺錘改成 0.1 公斤與 10 公斤，週期都是 2.833 秒。

物理沙盒四：拋體要打到目標

「拋體砲台」場景有一個綠色的目標（x = 9.5 公尺、半徑 0.55 公尺）。調整發射角與初速，工具會先顯示理論落點，再用模擬的結果判定是否命中。初速 9 m/s 時：

模擬落點與理論落點相差在 0.1 公尺以內。30° 與 60° 的落點接近，是因為射程與 sin 2θ 成正比，互補的兩個角度射程相同；兩者差了約 0.7 公尺，是因為砲口離地約 0.5 公尺或更高，並不是在地面同一高度發射。把初速改成 12 m/s，13° 與 74° 同樣能命中（落點 9.62 與 9.23 公尺）。

注意：場地右邊有一面牆（約 12 公尺處）。理論落點超過牆的位置時，砲彈會撞牆反彈，落點就不是理論值。例如 12 m/s、45° 的理論落點是 16.86 公尺，模擬的落點卻是 10.07 公尺。想驗證公式，請選理論落點在 12 公尺以內的組合。

物理沙盒的「執行驗證」與數據匯出

頁面下方的「執行驗證」會在獨立的模擬世界裡重現課本情況，並與公式比較。我們按下去的結果，7 項全部通過，其中三項是：

要自己做圖，可以按「↓ 匯出實驗數據 CSV」，得到 physics-data.csv，欄位是 time_s、kinetic_J、potential_J、total_J、selected_speed_mps、selected_height_m，每 1/60 秒一列，最多保留最近 10 秒。我們讓鋼珠落下 2.5 秒，匯出了 150 列。速率與高度欄位要先點選一個物體才有資料。

光學實驗室一：折射與材質

打開 幾何光學實驗室，「預設場景」選「折射：光線射入玻璃磚」。下方「光線與介面」表會列出每一次折射的入射角、折射角與臨界角，並檢查司乃耳定律（n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂）。選取玻璃磚（按「選取下一個元件」），把「材質」換成不同的材料，光線的入射角固定是 40°：

折射率越大，光線進去後越靠近法線。光從磚的另一面離開時，入射角 25.070° 變回 40.000°，所以出射光線與入射光線平行，只是往旁邊移動了一點。改變光源的角度，入射角 50° 時折射角是 30.329°，70° 時是 38.275°。如果把「環境介質」從空氣換成水，同一塊玻璃磚、同樣 40° 的入射，折射角變成 34.390°，彎得比在空氣中少。

光學實驗室二：臨界角與全反射

光從折射率大的材質射向折射率小的材質時，入射角超過臨界角 θc = asin(n₂/n₁)，就不會再折射出去，全部被反射回來。「全反射：半圓形玻璃」場景讓光線沿半徑射入，在平面上的入射角是 48°。換不同材質與環境，結果如下：

從這張表可以看到兩件事：材質的折射率越大，臨界角越小，越容易全反射；環境也有影響，同一塊玻璃放進水裡，臨界角從 41.2° 變成 61.5°，48° 的光就不再被全反射。

光學實驗室三：透鏡成像

「凸透鏡成像」場景的焦距是 f = 15 公分。選取物體箭頭，用方向鍵移動它（每按一次 1 公分，按住 Shift 移動 5 公分），「透鏡成像」就會顯示物距 d₀、像距 dᵢ 與放大率 m。公式是 1/d₀ + 1/dᵢ = 1/f、m = −dᵢ/d₀，工具的「追跡 dᵢ」是從光線實際算出來的，與公式的差都小於 10⁻¹³ 公分：

物距固定在 34 公分、只改焦距，也能看到差別：f = 10、15、20、30 公分時，像距依序是 14.17、26.84、48.57、255.00 公分，放大率依序是 −0.4167、−0.7895、−1.4286、−7.5000，焦距越接近物距，像越遠、越大。凹透鏡（f = −15 公分）永遠成正立縮小的虛像：物距 32、15、5 公分時，像距是 −10.21、−7.50、−3.75 公分，放大率是 0.3191、0.5000、0.7500。

光學實驗室四：稜鏡與色散

玻璃對不同波長的折射率不同，波長越短折射率越大，偏折越多，白光才會被稜鏡分成彩虹（工具用柯西公式 n(λ) = A + B/λ² 計算）。選「稜鏡色散：白光」，白光通過稜鏡後，最短的 420 nm 偏折了 57.71°，最長的 660 nm 偏折了 52.33°，相差 5.38°。把光源改成單色光，並換稜鏡的材質：

折射率與色散係數 B 越大，顏色分得越開。鑽石稜鏡沒有列在表裡：在這個預設光路上，光線到第二個面的入射角 44.102° 大於鑽石的臨界角 24.439°，會被全反射，不會像玻璃那樣從另一面直接射出。

凹面鏡與球面像差

「凹面鏡聚焦」場景是 R = 60 公分的凹面鏡，焦點在 F = R/2 = 30 公分處（鏡在 x = 100，焦點在 x = 70）。平行光線越靠近邊緣，反射後越偏離焦點：離軸 2.4 公分的光線在 x = 70.02 穿過軸線，離軸 12 公分的光線在 x = 70.62，差了 0.6 公分。這是真實球面鏡的球面像差；透鏡則是理想的薄透鏡，沒有這種誤差。

兩個工具的限制

• 這是數值模擬。 沙盒有離散誤差：速度很快的碰撞或極小的物體可能穿透，堆疊的物體會有微小的下沉；時間以 1/60 秒為一格。
• 光學是二維的幾何光學。 依司乃耳定律折射、依菲涅耳公式決定亮度，不含繞射與干涉。折射介質（稜鏡、玻璃磚、半圓形玻璃）請不要互相重疊。
• 兩個工具都不會自動保存場景，離開頁面就回到預設；想保留請按「↓ 匯出 JSON」。沙盒只會記住「顯示」選項與曲線種類。
• 沙盒最多放 150 個物體，光學實驗室最多 40 個元件。

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